本記事では、弾性コンプライアンス（弾性スティフネス）と弾性係数（ヤング率、せん断弾性率、ポアソン比）の関係式を示します。
Webページ上では要点のみを示しますので、細かな式展開については本ページ下部のpdfファイルをご確認ください。
ヤング率、ポアソン比、せん断弾性率
ヤング率（Young’s modulus）、ポアソン比（Poisson’s ratio）、せん断弾性率（せん断弾性係数: Shear modulus、横弾性係数：Transverse modulus、剛性率: Modulus of rigidity）は、弾性スティフネス（Elastic stiffness）から求めることができます。
ヤング率、ポアソン比、せん断弾性率と弾性スティフネスの間の関係式は、弾性スティフネスよりも弾性コンプライアンス（Elastic compliance）を用いた方が表現が容易です。
そこで、まず、任意の材料について弾性コンプライアンスとの関係を示します。
等方弾性体以外では、ヤング率、ポアソン比、せん断弾性率は異方性を有するため、ここでは、ヤング率、ポアソン比を第1軸方向の引張変形、せん断弾性係率を1-2平面のせん断変形から導きます。
任意の変形に対しては、弾性コンプライアンスを適切に回転する事で求めることができます。
まず、第1軸方向の引張変形を考えます。引張応力（Stress）を\(\sigma\)、ひずみ（Strain）を\(\varepsilon_{ij}\)、弾性コンプライアンスを\(S_{ijkl}\)、ヤング率\(をE\)とすると、Hookeの法則（フックの法則: Hooke’s law）によって以下の関係式が成立します。
Hookeの法則
$$
\left[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
\varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} \\
\varepsilon_{12} \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cccccc}
S_{1111} & S_{1122} & S_{3311} & S_{1123} & S_{1131} & S_{1112} \\
S_{1122} & S_{2222} & S_{2233} & S_{2223} & S_{2231} & S_{2212} \\
S_{3311} & S_{2233} & S_{3333} & S_{3323} & S_{3331} & S_{3312} \\
S_{1123} & S_{2223} & S_{3323} & S_{2323} & S_{2331} & S_{2312} \\
S_{1131} & S_{2231} & S_{3331} & S_{2331} & S_{3131} & S_{3112} \\
S_{1112} & S_{2212} & S_{3312} & S_{2312} & S_{3112} & S_{1212} \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\sigma \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right]
\tag{1}
$$
$$
\varepsilon_{11}=\frac{1}{E} \sigma \tag{2}
$$
第2, 3軸方向に関するポアソン比\(\nu_2, \nu_3\)は以下の式で定義されます。
ポアソン比の定義
$$ \nu_2=-\frac{\varepsilon_{22}}{\varepsilon_{11}} \tag{3} $$
$$ \nu_3=-\frac{\varepsilon_{33}}{\varepsilon_{11}} \tag{4} $$
続いて、1-2平面のせん断変形を考えます。せん断応力を\(\tau\)、せん断弾性率を\(G\)とすると、Hookeの法則によって以下の関係式が成立します。
Hookeの法則
$$
\left[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
\varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} \\
\varepsilon_{12} \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cccccc}
S_{1111} & S_{1122} & S_{3311} & S_{1123} & S_{1131} & S_{1112} \\
S_{1122} & S_{2222} & S_{2233} & S_{2223} & S_{2231} & S_{2212} \\
S_{3311} & S_{2233} & S_{3333} & S_{3323} & S_{3331} & S_{3312} \\
S_{1123} & S_{2223} & S_{3323} & S_{2323} & S_{2331} & S_{2312} \\
S_{1131} & S_{2231} & S_{3331} & S_{2331} & S_{3131} & S_{3112} \\
S_{1112} & S_{2212} & S_{3312} & S_{2312} & S_{3112} & S_{1212} \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
2\tau \\
\end{array}
\right]
\tag{5}
$$
$$
2\varepsilon_{12}=\frac{1}{G} \tau \tag{6}
$$
これらから、以下の関係式が得られます。
ヤング率
$$
E=\frac{1}{S_{1111}} \tag{7}
$$
せん断弾性率
$$
G=\frac{1}{4} \frac{1}{S_{1212}} \tag{8}
$$
ポアソン比
$$
\nu_2=-\frac{S_{1122}}{S_{1111}} \tag{9}
$$
$$
\nu_3=-\frac{S_{1133}}{S_{1111}} \tag{10}
$$
等方弾性体
等方弾性体では、\(\lambda, \mu\)をラメ定数として以下の関係式が成立します。
等方弾性体の弾性コンプライアンス（\(i \neq j\)）
$$ S_{iiii}=\frac{\left(\lambda+\mu \right)}{\mu \left(3\lambda+2\mu \right)} \tag{1-1} $$
$$ S_{iijj}=\frac{-\lambda}{2\mu \left(3\lambda+2\mu \right)} \tag{1-2} $$
$$ S_{ijij}=S_{ijji}=\frac{1}{4\mu} \tag{1-3} $$
これらを用いると、以下の関係式が得られます。
ヤング率
$$
E=\frac{\mu \left(3\lambda+2\mu \right)}{\left(\lambda+\mu \right)} \tag{1-4}
$$
せん断弾性率
$$
G=\mu \tag{1-5}
$$
ポアソン比
$$
\nu=\frac{\lambda}{2\left(\lambda+\mu \right)} \tag{1-6}
$$
また、\(E, G, \nu\)の間には以下の関係式が成立します。
$$
G=\frac{E}{2 \left( 1+\nu \right)} \tag{1-7}
$$
