関数の積、関数の分数、合成関数の微分

2021年10月24日2022年2月19日

本記事では、微分に関する基本定理である、関数の積、関数の分数、合成関数の微分について導出過程を示します。

対象読者：高校生

必要な知識：高校数学の微分

微分に関する基本的な関係式

微分はEq. (1)によって定義されており、この定義に基づくと関数の積、合成関数、関数の分数の微分としてEqs. (2~4)が成立します。

本ページではEqs. (2~4)の導出過程を示します。

微分の定義式

関数$f(x)$の微分は以下の式で定義されています。

$$
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\tag{1}
$$

関数の積の微分

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)g(x)= \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g+ f\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}
\tag{2}
$$

合成関数の微分

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(u(x))=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
\tag{3}
$$

分数式の微分

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g- f\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}{g^2}
\tag{4}
$$

Eq. (2)の導出（関数の積の微分）

任意の関数$f(x), g(x)$の積$f(x)g(x)$の微分を考えます。

微分の定義（Eq. (1)）に基づくと、この関数の微分は以下の式で与えられます。

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)g(x) = \lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} $$

この式の分子に、以下の項を考えて整理します。

$$ 0=-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h) \tag{1-1} $$

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)g(x)
&=& \lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
&=& \lim _{h \to 0} \frac{1}{h}
\left\{ \begin{array}{l}
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \\ -f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)
\end{array} \right\} \\
&=& \lim _{h \to 0} \frac{1}{h}
\left\{ \begin{array}{l}
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \\ -f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)
\end{array} \right\} \\
&=& \lim _{h \to 0} \frac{1}{h}
\left\{ \begin{array}{l}
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h) \\ +f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
\end{array} \right\} \\
&=& \lim _{h \to 0}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h} \\ +\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}
\end{array} \right\} \\
&=& \lim _{h \to 0}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h) \\ +f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{array} \right\} \\
\end{eqnarray}
$$

{}内の分数項は微分の定義を用いると、以下のようになります。

$$ \lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g(x) \tag{1-2} $$

$$ \lim _{h \to 0} f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f(x) \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \tag{1-3} $$

Eqs. (1-2~1-3)を代入すると、Eq. (2)が導かれます。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)g(x)
&=& \lim _{h \to 0}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h) \\ +f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{array} \right\} \\
&=& \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g(x)+ f(x) \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}
\end{eqnarray}
$$

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)g(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g+ f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}
\tag{2}
$$

Eq. (3)の導出（合成関数の微分）

合成関数$f(u(x))$の微分を考えます。

微分の定義（Eq. (1)）に基づくと、この関数の微分は以下の式で与えられます。

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(u(x)) = \lim _{h \to 0} \frac{f(u(x+h))-f(u(x))}{h} $$

以下の項を考えて整理します。

$$ 1=\frac{u(x+h)-u(x)}{u(x+h)-u(x)} \tag{2-1}$$

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(u(x))
&=& \lim _{h \to 0} \frac{f(u(x+h))-f(u(x))}{h} \\
&=& \lim _{h \to 0} \frac{f(u(x+h))-f(u(x))}{u(x+h)-u(x)} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}
\end{eqnarray}
$$

ここで、$v$を以下の式で定義すると、$f(u(x))$の微分は以下のように表現できます。

$$ v=u(x+h)-u(x) \tag{2-2}$$

$$ (h \to 0) \to (v \to 0) \tag{2-3}$$

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(u(x))
&=& \lim _{h \to 0} \frac{f(u(x+h))-f(u(x))}{u(x+h)-u(x)} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \\
&=& \lim _{h, v \to 0} \frac{f(u(x)+v)-f(u(x))}{v} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}
\end{eqnarray}
$$

微分の定義より以下の式が成立します。

$$ \lim _{v \to 0} \frac{f(u(x)+v)-f(u(x))}{v} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \tag{2-4} $$

$$ \lim _{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \tag{2-5} $$

Eqs. (2-4~2-5)を代入すると、Eq. (3)が導かれます。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(u(x))
&=& \lim _{h, v \to 0} \frac{f(u(x)+v)-f(u(x))}{v} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \\
&=& \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
\end{eqnarray}
$$

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(u(x))=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
\tag{3}
$$

Eq. (4)の導出（関数の分数の微分・・・$x^{-1}$の微分を利用）

分数形式の関数$f(x)/g(x)$の微分を考えます。

-1乗を用いると、この式は以下のように関数の積の形式になります。

$$ \frac{f(x)}{g(x)}= f g^{-1} $$

関数積の微分（Eq. (2)）を用いると、この微分は以下のようになります。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f(x)}{g(x)}
&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f g^{-1} \\
&=& \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g^{-1}+ f \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( g^{-1} \right) \\
\end{eqnarray}
$$

合成関数の微分（Eq. (3)）を用いれば、以下の式が成立します。

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( g^{-1} \right) = \frac{\mathrm{d}g^{-1}}{\mathrm{d}g} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} $$

さらに、べき関数の微分（Eq. (3-1)）を用いて変形します。

べき関数の微分

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n =n x^{n-1} \tag{3-1} $$

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べき関数の微分（導出）べき関数の微分以下のようなべき関数の微分は、以下のように表現されます。 $$ f(x)=ax^n \tag{1}$$ $$ f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=anx^{n-1} \tag{2} $$ ...

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( g^{-1} \right)
&=& \frac{\mathrm{d}g^{-1}}{\mathrm{d}g} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \\
&=& -g^{-2} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \\
&=& -\frac{1}{g^2} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \\
\end{eqnarray}
$$

これらの式を用いて整理すると、Eq. (4)が導かれます。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f(x)}{g(x)}
&=& \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g^{-1}+ f \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( g^{-1} \right) \\
&=& \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \frac{1}{g} – f \frac{1}{g^2} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \\
&=& \frac{1}{g^2} \left( \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g – f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right)
\end{eqnarray}
$$

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g- f\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}{g^2}
\tag{4}
$$

Eq. (4)の導出（関数の分数の微分・・・対数微分法を利用）

分数形式の関数$f(x)/g(x)$の微分を考えます。

対数微分法を用いると以下のように変形できます。

（注）lnは自然対数を意味します。

対数微分法

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = f(x) \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( f(x) \right) \right\} \tag{4-1} $$

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$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) \right\} $$

この式を、対数の性質と合成関数の微分（Eq. (3)）、対数関数の微分を用いて変形します。

対数の性質

$$ \ln \frac{a}{b} =\ln a -\ln b \tag{4-2} $$

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対数の微分

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln x = \frac{1}{x} \tag{4-3} $$

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$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f(x)}{g(x)}
&=& \frac{f(x)}{g(x)} \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) \right\} \\
&=& \frac{f}{g} \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \ln \left( f(x) \right) – \ln \left( g(x) \right) \right\} \right\} \\
&=& \frac{f}{g} \left\{ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f} \ln f – \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}g} \ln g \right\} \\
&=& \frac{f}{g} \left\{ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \frac{1}{f}- \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \frac{1}{g} \right\} \\
&=& \frac{1}{g^2} \left\{ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g- f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right\} \\
\end{eqnarray}
$$

このように、Eq. (4)が導かれます。

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g- f\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}{g^2}
\tag{4}
$$