対数微分法(導出・使用例)

数学

本記事では、高校生向けに対数微分法について解説します。

対数微分法では、与えられた関数の微分を求めるにあたり、一度関数の対数をとり、それを微分することで元の関数の微分を求めます。

対数微分法を用いると、指数関数など様々な関数の微分を簡単に計算することができます。

対象読者:高校生

【注意事項】

  • 本記事では自然対数を\(\log\)ではなく、\(\ln\)と表現します。

対数微分法に関わる関係式の導出

対数微分法では、以下の任意の関数\(f(x)\)の対数をとったのち微分を行います。

$$ y=f(x) \tag{1} $$

自然対数をとります。ここで、\(\ln\)は自然対数を意味します。

$$ \ln y=\ln \left( f(x) \right) $$

微分します。

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln y= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( f(x) \right) $$

合成関数の微分を用いて、左辺を変形します。

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln y=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y \right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $$

対数関数の微分を用いると、右辺の()内は以下のようになります。

$$ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y \right)=\frac{1}{y} $$

以上の式を整理すると以下の式が成立します。

$$ \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( f(x) \right) $$

両辺に\(y\)をかけると、以下の関係式が導かれます。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( f(x) \right) \tag{4} $$

Eq. (1)を用いて右辺の\(y\)を消去すると、対数微分法の要となる関係式が得られます。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x) \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left( f(x) \right) \right\} \tag{5} $$

対数微分法の利用例

指数関数の微分

以下の指数関数の微分を考えます。

$$ y=f(x)=e^x \tag{1-1} $$

Eq. (1-1)に対して、自然対数をとると以下の式が成立します。

$$ \ln \left( f(x) \right) =x \tag{1-2} $$

Eq. (5)にEqs. (1-1, 1-2)を代入します。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^x \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right)=e^x $$

このようにして指数関数の微分が求められます。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^x \tag{1-3} $$

指数関数の微分については以下の記事も合わせてご確認ください。

べき関数の微分

以下のべき関数の微分を考えます。

$$ y=f(x)=x^n \tag{2-1} $$

ここで、\(n\)は定数です。

Eq. (2-1)に対して、自然対数をとると以下の式が成立します。

$$ \ln \left( f(x) \right) =n \ln x \tag{2-2} $$

Eq. (5)にEqs. (2-1, 2-2)を代入します。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
&=& x^n \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} n \ln x \right) \\
&=& n x^n \frac{1}{x} \\
&=& n x^{n-1}
\end{eqnarray}
$$

この式の変形にはEq. (3)を用いました。

このようにしてべき関数の微分が求められます。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=n x^{n-1} \tag{2-3} $$

べき関数の微分については以下の記事も合わせてご確認ください。

\(x^x\)の微分

以下の関数の微分を考えます。

$$ y=f(x)=x^x \tag{3-1} $$

ここで、\(n\)は定数です。

Eq. (3-1)に対して、自然対数をとると以下の式が成立します。

$$ \ln \left( f(x) \right) =x \ln x \tag{3-2} $$

Eq. (5)にEqs. (3-1, 3-2)を代入します。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^x \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \ln x \right) $$

関数の積の微分を用いて右辺の()内の式を変形します。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \ln x
&=& \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right) \ln x +x \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln x \right) \\
&=& \ln x +x \frac{1}{x} \\
&=& \ln x +1 \\
\end{eqnarray}
$$

この式の変形にはEq. (3)を用いました。

これらを整理すると以下の式が得られます。

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^x \left( \ln x +1 \right) \tag{3-4} $$


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