N分の1であたるくじに関する確率

数学

2021.10.03

100回に1回あたるくじがあるとします。感覚的には、このくじを100回引けば1回はあたるような感覚を抱きますが、100回ひいたときにあたる確率はどの程度になるでしょうか。本稿では、一般化した$N$回に1回あたるくじについて、数学的に計算した結果を示します。。

このページでは主要な結果をまとめますので、詳細な計算手順は以下のpdfファイルを確認してください。

詳細な式展開（pdfファイル）ダウンロード

N回くじを引いて少なくとも1回はあたる確率
あたりが出るまでに必要なくじ引きの回数の期待値
最後に

N回くじを引いて少なくとも1回はあたる確率

$N$分の1の確率であたるくじを $N$ 回引いた場合に少なくとも1回あたる確率を$P(N)$とすると、

$$ P(N)=1- \left( \frac{N-1}{N} \right) ^N \tag{1}$$

となります。これを具体的に計算すると以下のようになり、 $P(100) \approx 0.65$となります。

$N$	1	2	3	4	5	10	100	1000
$P(N)$ /%	100	75	70.4	68.4	67.2	65.1	63.4	63.2

これを図にプロットすると、下図のようになります。$P(N)$は $N$の増加によって減少し、一定値に収束することが分かります。

ここで$ N \to \infty$を考えると、

$$ \lim_{N \to \infty} \left( \frac{N-1}{N} \right) ^N=\frac{1}{e} \tag{2}$$

となるため、

$$ \lim_{N \to \infty} P(N)=1-\frac{1}{e} \tag{3}$$

となります。この値を具体的に計算すると、$P(\infty) \approx 0.63$となります。これらの事から、 $N$分の1の確率であたるくじは $N$回引けば、75~63%の確率（$N$によって変化）であたりを引くことができることが分かります。逆に、$N>5$では$N$回くじを引いても、3度に1度は1回もあたりを引くことができないことが分かります。

あたりが出るまでに必要なくじ引きの回数の期待値

$N$分の1の確率であたるくじをあたりが出るまでくじを引くとします。この時、あたりが出るまでに必要なくじの回数に関する期待値$N_{\mathrm{E}}$を考えます。ここで、$M$回目のくじではじめてあたりを引く確率を$P^{\mathrm{f}}(N,M)$とすると、以下の式が成立します。

$$ P^{\mathrm{f}}(N,M) = \frac{1}{N} \left( \frac{N-1}{N} \right) ^{M-1} \tag{4}$$

$$ N_{\mathrm{E}}=\sum_{M=1}^{\infty} MP^{\mathrm{f}}(N,M)=N \tag{5} $$

このように、あたりを1回ひくのに必要なくじ引き回数の期待値な$N$となります。これは平均$N$回くじを引けばあたりが出る事を意味しています。

一方で、前述のとおり、$P(N) \neq 1$であり、感覚的には両者は矛盾しているように感じる方もいるかと思います。これは、 $P(N)$の計算では、複数回あたりが出るという成果が考慮されていないために生じるギャップです。前述の取り、$N=100$では、100回くじを引いても3度に1度程度は、1度もあたりを引くことができませんが、外れしか引けない事象が生じるのとともに2回以上あたりが出る事象が生じるため、全体的としてのあたり回数の帳尻が合います。