材料の力学特性を調べるために、よく引張試験（tensile test）が実施されます。引張試験はその名の通り、指定の形状に切出したサンプルを特定の方向に引張る、非常にシンプルな機械試験です。測定データとしては、ストローク変位（変形量）と荷重が得られ、一般的にはこれらを整理して応力ーひずみ（S-S: stress-strain）曲線を試験結果として取得します。応力とひずみにはそれぞれ真応力（true stress）\(\sigma^{\mathrm{t}}\)と公称応力（engineering stress, nominal stress）\(\sigma^{\mathrm{n}}\)、真ひずみ（true strain）\(\varepsilon^{\mathrm{t}}\)と公称ひずみ（engineering strain, nominal strain）\(\varepsilon^{\mathrm{n}}\)の2種類が存在し、S-S曲線にも真応力ー真ひずみ曲線と公称応力ー公称ひずみ曲線の2種類が存在します。このページでは公称ひずみ・公称応力と真ひずみ・真応力の違いについて簡単に紹介します。
公称応力・公称ひずみ
Fig. 1のように初期長さ\(l_0\)の直方体試験片を長手方向に引張り、均一変形によって長さが\(l\)、\(l+\mathrm{d}l\)となった場合を考えます。長さが\(l\)の時のひずみ量を\(\varepsilon^{\mathrm{n}}\)とすると、長さが\(l+\mathrm{d}l\)まで伸びるとひずみ量が\(\mathrm{d}\varepsilon^{\mathrm{n}}\)だけ増加します。
公称ひずみは初期の長さを基準としたひずみで、
$$ \mathrm{d}\varepsilon^{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{d}l}{l_0}$$
によって与えられます。この式を積分すると、公称ひずみが以下の式で得られます。
$$
\begin{eqnarray}
\varepsilon^{\mathrm{n}}&=&\int_{l_0}^{l} \frac{\mathrm{d}l}{l_0}=\left[ \frac{l}{l_0} \right]_{l_0}^l \\
&=&\frac{l-l_0}{l_0}
\end{eqnarray}
$$
一方、公称応力は荷重\(F\)を初期の長手方向に対する垂直断面積\(A_0\)で除した値であり、以下の式で与えられます。
$$ \sigma^{\mathrm{n}}=\frac{F}{A_0} $$
ここで、\(F\)は荷重、\(A_0\)は初期状態での断面積です。
まとめると、公称ひずみと公称応力はそれぞれ以下の式で与えられます。
$$ \varepsilon^{\mathrm{n}}=\frac{l-l_0}{l_0} $$
$$ \sigma^{\mathrm{n}}=\frac{F}{A_0} $$
真応力・真ひずみ
公称応力、公称ひずみではは初期の断面積と初期長さを基準として、応力とひずみを計算しましたが、実際には断面積も長さも変形に伴い変化します。真応力・真ひずみは変形に伴った形状変化を考慮した応力・ひずみで、Fig. 1のような変形に対して以下の式で評価されます。
$$ \mathrm{d}\varepsilon^{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}l}{l}$$
$$ \sigma^{\mathrm{n}}=\frac{F}{A_0} $$
真ひずみは上式を積分することにより以下の式が得られます。
$$
\begin{eqnarray}
\varepsilon^{\mathrm{t}}&=&\int_{l_0}^{l} \frac{\mathrm{d}l}{l}=\left[ \ln l \right]_{l_0}^l \\
&=& \ln l- \ln l_0=\ln \left( \frac{l}{l_0} \right)
\end{eqnarray}
$$
一方、体積一定の条件から、均一変形を考えているので、
$$ Al=A_0 l_0 $$
$$ A=A_0 \frac{l_0}{l} $$
が成立するので、これを真応力の関係式に代入すると、
$$ \sigma^{\mathrm{t}}=\frac{F}{A_0}\frac{l}{l_0} $$
まとめると、真ひずみと真応力はそれぞれ以下の式で与えられます。
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}=\ln \left( \frac{l}{l_0} \right) $$
$$ \sigma^{\mathrm{t}}=\frac{F}{A_0}\frac{l}{l_0} $$
公称応力・公称ひずみと真応力・真ひずみの関係
まず、\( \varepsilon^{\mathrm{t}}, \sigma^{\mathrm{t}} \)と\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)の関係式を導きます。\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)の関係式より、
$$ \frac{l}{l_0}-1=\varepsilon^{\mathrm{n}} $$
$$ \frac{l}{l_0}=\varepsilon^{\mathrm{n}}+1 $$
$$ \frac{F}{A_0}=\sigma^{\mathrm{n}} $$
が成立するので、この式を\(\varepsilon^{\mathrm{t}}, \ \sigma^{\mathrm{t}}\)の関係式に代入すると、以下の関係式が成立します。
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}=\ln \left( \frac{l}{l_0} \right) = \ln \left( \varepsilon^{\mathrm{n}}+1 \right) $$
$$ \sigma^{\mathrm{t}}=\frac{F}{A_0}\frac{l}{l_0}=\sigma^{\mathrm{n}} \left( \varepsilon^{\mathrm{n}}+1 \right) $$
整理すると、以下の関係式により\(\varepsilon^{\mathrm{n}}, \ \sigma^{\mathrm{n}}\)から\(\varepsilon^{\mathrm{t}}, \ \sigma^{\mathrm{t}}\)が計算できることが分かります。
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}=\ln \left( \varepsilon^{\mathrm{n}}+1 \right) $$
$$ \sigma^{\mathrm{t}}=\sigma^{\mathrm{n}} \left( \varepsilon^{\mathrm{n}}+1 \right) $$
物理的には、\( \varepsilon^{\mathrm{t}}, \sigma^{\mathrm{t}} \)が実際に材料に作用している応力とひずみです。上式のように\( \varepsilon^{\mathrm{t}}, \sigma^{\mathrm{t}} \)と\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)の間には単純な関係式が成立するため、あえて\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)を用いる必要はないと感じるかもしれません。\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)を用いる理由は、引張試験の後期では\( \varepsilon^{\mathrm{t}}, \sigma^{\mathrm{t}} \)を得ることが困難であるためです。上記の関係式は、均一変形を仮定して関係式を導いていますが、実際の材料の変形においては、試験の後期において局所変形が進行しくびれが発生するため、上記の式を用いて\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)から\( \varepsilon^{\mathrm{t}}, \sigma^{\mathrm{t}} \)を計算することはできません。この場合、真応力の計算には局所的な断面積\(A\)が必要となりますが、実験的にくびれ部の断面積を逐次計測することは困難であるため、S-S曲線はよく\( \varepsilon^{\mathrm{n}}, \sigma^{\mathrm{n}} \)を用いて表現されます。
最後に、ひずみの加算性について触れておきます。初期長さ\(l_0\)の試験片を長さ\(l_1\)まで伸ばした後、長さ\(l_2\)まで伸ばすとします。長さ\(l_0\)の試験片を長さ\(l_1\)まで伸ばすときのひずみを\( \varepsilon^{\mathrm{n}}_{0-1}, \ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-1}\)、長さ\(l_1\)の試験片を長さ\(l_2\)まで伸ばすときのひずみを\( \varepsilon^{\mathrm{n}}_{1-2}, \ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{1-2}\)とすると、前述の関係式から、
$$ \varepsilon^{\mathrm{n}}_{0-1}=\frac{l_1-l_0}{l_0} $$
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-1}=\ln \left( \frac{l_1}{l_0} \right) $$
$$ \varepsilon^{\mathrm{n}}_{1-2}=\frac{l_2-l_1}{l_1} $$
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{1-2}=\ln \left( \frac{l_2}{l_1} \right) $$
となるので、
$$ \varepsilon^{\mathrm{n}}_{0-1}+\varepsilon^{\mathrm{n}}_{1-2}=\frac{l_1-l_0}{l_0}+\frac{l_2-l_1}{l_1}= \frac{l_1^2+l_2l_0-2l_0l_1}{l_0 l_1}$$
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-1}+\varepsilon^{\mathrm{t}}_{1-2}=$\ln \left( \frac{l_1}{l_0} \right)+\ln \left( \frac{l_2}{l_1} \right)=\ln \left( \frac{l_1}{l_0} \frac{l_2}{l_1} \right)=\ln \left( \frac{l_2}{l_0} \right) $$
となります。ここで、長さ\(l_0\)の試験片を長さ\(l_2\)まで伸ばすときのひずみを\( \varepsilon^{\mathrm{n}}_{0-2}, \ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-2}\)とすると、前述の関係式から、
$$ \varepsilon^{\mathrm{n}}_{0-2}=\frac{l_2-l_0}{l_0} $$
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-2}=\ln \left( \frac{l_2}{l_0} \right) $$
となるので、真ひずみについてのみ、
$$ \varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-2}=\varepsilon^{\mathrm{t}}_{0-1}+\varepsilon^{\mathrm{t}}_{1-2} $$
が成立し、公称ひずみについては加算ができないことが分かります。
公称応力・公称ひずみ、真応力・真ひずみを用いるにあたっては、前述のとおり、公称ひずみは個別に考えた変形に関して加算ができないこと、真応力・真ひずみについてはくびれ発生以降の見積もりが困難であることを理解しておくことが大切です。
