本ページでは総和記号が持つ基本的な性質を示した後、基本的なべき乗の総和に関する関係式を示します。べき乗の総和の式については導出過程を以下のpdfファイル にまとめておりますので、必要に応じて確認してください。
総和記号の性質
総和記号は以下の性質を有する。
$$ \sum_{k=1}^{n} xa_k= x \sum_{k=1}^{n} a_k \tag{1-1}$$
$$ \sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k)= \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \tag{1-2}$$
$$ \sum_{k=m}^{n} a_k= \sum_{k=l}^{n} a_k – \sum_{k=l}^{m} a_k \tag{1-3}$$
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k= \sum_{k=1+m}^{n+m} a_{k-m} \tag{1-4} $$
ここで、\(x\)は定数、\({a_i}, {b_i}\)は数列である。
べき乗の総和
総和の一般的な関係式として以下が成立することが知られています。それぞれの導出過程は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。
$$ \sum_{k=1}^n 1=n \tag{2-1}$$
$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1) \tag{2-2}$$
$$ \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \tag{2-3}$$
また、一般に、以下の関係式が成立します。
$$ S_p=\frac{1}{p+1} \left\{ n \sum_{q=0}^p \left( n+1 \right) ^q – \sum_{q=0}^{p-1} {}_{p+1} \mathrm{C} _q S_q \right\} \tag{2-4} $$
$$ S_p=\sum_{k=1}^n k^p \tag{2-5}$$
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