二次関数

数学


本ページでは二次関数の基本関係式についてまとめます。それぞれの関係式導出については 以下のpdfファイル にまとめておりますので、必要に応じて確認してください。

二次関数の表現

任意の二次関数は以下のようにいくつかの式で表現できます。いずれの表現でも3つの変数が存在しており、二次関数の決定には3つの束縛式が必要となります。

$$ f(x)=ax^2+bx+c \tag{1-1}$$

$$ f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta) \tag{1-2}$$

$$ f(x)=a(x-x_0)^2+y_0 \tag{1-3}$$

\(f(x)=0\)の解

\(f(\alpha)= f(\beta) =0\) より、 \(f(x)=0\) の解は、以下のようになります。 詳細は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。

$$ x=\alpha, \beta \tag{2-1}$$

$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \tag{2-2}$$

ここで、\(D\)は判別式であり、以下の式で定義されています。

$$ D= b^2-4ac \tag{2-3} $$

\(f(x)\)の係数がすべて実数の場合、 \(D\)の符号によって、\(\alpha, \beta\)が実数となるか否かがきまります。

\(D<0\)のとき 、\(\alpha, \beta\)は実数ではありません。

\(D=0\)のとき 、\(\alpha=\beta\)となり、 \(\alpha, \beta\) は実数となります。

\(D>0\)のとき 、\(\alpha, \beta\)は実数となります。

解と係数の関係

解と係数の間には、以下の関係式が成立します。導出は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。

$$ \alpha+\beta=-\frac{b}{a} \tag{3-1}$$

$$ \alpha\beta=\frac{c}{a} \tag{3-2}$$

軸と頂点

軸および頂点は、以下の式で与えられます。関係式の導出は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。

$$ 軸:x=x_0 \tag{4-1}$$

$$ 頂点:(x,y)=(x_0,y_0) \tag{4-2}$$

$$ x_0=-\frac{b}{2a} \tag{4-3}$$

$$ y_0=-a \left( \frac{b}{2a} \right) ^2+c=-\frac{D}{4a} \tag{4-4}$$


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