本ページでは二次関数の基本関係式についてまとめます。それぞれの関係式導出については 以下のpdfファイル にまとめておりますので、必要に応じて確認してください。
二次関数の表現
任意の二次関数は以下のようにいくつかの式で表現できます。いずれの表現でも3つの変数が存在しており、二次関数の決定には3つの束縛式が必要となります。
$$ f(x)=ax^2+bx+c \tag{1-1}$$
$$ f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta) \tag{1-2}$$
$$ f(x)=a(x-x_0)^2+y_0 \tag{1-3}$$
\(f(x)=0\)の解
\(f(\alpha)= f(\beta) =0\) より、 \(f(x)=0\) の解は、以下のようになります。 詳細は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。
$$ x=\alpha, \beta \tag{2-1}$$
$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \tag{2-2}$$
ここで、\(D\)は判別式であり、以下の式で定義されています。
$$ D= b^2-4ac \tag{2-3} $$
\(f(x)\)の係数がすべて実数の場合、 \(D\)の符号によって、\(\alpha, \beta\)が実数となるか否かがきまります。
\(D<0\)のとき 、\(\alpha, \beta\)は実数ではありません。
\(D=0\)のとき 、\(\alpha=\beta\)となり、 \(\alpha, \beta\) は実数となります。
\(D>0\)のとき 、\(\alpha, \beta\)は実数となります。
解と係数の関係
解と係数の間には、以下の関係式が成立します。導出は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。
$$ \alpha+\beta=-\frac{b}{a} \tag{3-1}$$
$$ \alpha\beta=\frac{c}{a} \tag{3-2}$$
軸と頂点
軸および頂点は、以下の式で与えられます。関係式の導出は本ページ上部のpdfファイルを参考にしてください。
$$ 軸：x=x_0 \tag{4-1}$$
$$ 頂点：(x,y)=(x_0,y_0) \tag{4-2}$$
$$ x_0=-\frac{b}{2a} \tag{4-3}$$
$$ y_0=-a \left( \frac{b}{2a} \right) ^2+c=-\frac{D}{4a} \tag{4-4}$$
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