二元系合金の二相平衡（物質量から定式化）

2022年1月30日2024年11月17日

本記事では、A-B二元系合金の二相平衡の条件式（共通接線則）について導出過程をまとめます。

Webページ上では要点のみを示しますので、細かな式展開については本ページ下部のpdfファイルをご確認ください。

共通接線則

A-B二元系合金において$\mathrm{\alpha }$相と$\mathrm{\beta}$相の二相が存在している場合を考えます。

系のギブスエネルギー

この系のギブスエネルギー$G$は以下の式で与えられます。

$$
G=\left( n_{\mathrm{A}} ^{\mathrm{\alpha}} +n_{\mathrm{B}} ^{\mathrm{\alpha}} \right) g ^{\mathrm{\alpha}} + \left( n_{\mathrm{A}} ^{\mathrm{\beta}} +n_{\mathrm{B}} ^{\mathrm{\beta}} \right) g ^{\mathrm{\beta}} \tag{1-1}
$$

ここで、$n_{X} ^{P}$は相$P$中の成分$X$の物質量、$g ^P$は単位物質量当たりの相$P$のギブスエネルギーです。

導出に用いる関係式

二相平衡の条件式は、以下の条件下で$G$の最小化を考える事で得ることができます。

$$
n_{X} ^{\mathrm{\alpha}} + n_{X} ^{\mathrm{\beta}} =n_X =\mathrm{const.} \tag{1-2}
$$

最小化と極小化は異なる概念ですが、実世界では多くの場合、極小値のいずれかが最小値に一致します。そこで、平衡条件の導出では$G$の極小化条件（Eq. (1-3)）を考えます。

$$
{{\left( \frac{\partial G}{\partial n_{\text{A}}^{\alpha}} \right)}_{n_{\text{B}}^{\alpha}}}={{\left( \frac{\partial G}{\partial n_{\text{B}}^{\alpha}} \right)}_{n_{\text{A}}^{\alpha}}}=0 \tag{1-3}
$$

ここで、$g ^P$は相$P$中の成分$X$の濃度$c_{X} ^{P}$に依存しており、$c_{X} ^{P}$は$n_{X} ^{P}$との間にEq. (1-4)の関係があります。

$$
c_{X}^{P}=\frac{n_{X}^{P}}{n_{\text{A}}^{P}+n_{\text{B}}^{P}} \tag{1-4}
$$

二相平衡の条件式

Eq. (1-3)を解くと、二相平衡の条件式（Eqs. (1-5, 1-6)）が得られます。

計算手順の詳細は当ページ下部のpdfファイルをご確認ください。

$$
\frac{\text{d}{{g}^{\alpha}}}{\text{d}c_{\text{B}}^{\alpha}}=\frac{\text{d}{{g}^{\beta}}}{\text{d}c_{\text{B}}^{\beta}} \tag{1-5}
$$

$$
{{g}^{\alpha}}-{{g}^{\beta}}=\frac{\text{d}{{g}^{\alpha}}}{\text{d}c_{\text{B}}^{\alpha}}\left( c_{\text{B}}^{\alpha}-c_{\text{B}}^{\beta} \right) \tag{1-6}
$$