本記事では、A-B二元系合金の二相平衡の条件式（共通接線則）を、濃度と相分率を変数として導く方法を紹介します。
共通接線則の導出に関しては、すでに以下の記事で紹介しております。この記事で導く関係式は以下の記事で導いたものと同じです。以下の記事では物質量を変数として共通接線則を導きましたが、本記事では濃度と相分率を変数として共通接線則を導きます（別パターンの導出です）。
Webページ上では要点のみを示しますので、細かな式展開については本ページ下部のpdfファイルをご確認ください。
共通接線則
A-B二元系合金において\(\mathrm{\alpha }\)相と\(\mathrm{\beta}\)相の二相が存在している場合を考えます。
系のギブスエネルギー
この系の単位物質量あたりのギブスエネルギー\(G\)は以下の式で与えられます。
$$
G={{f}^{\alpha}}{{g}^{\alpha}}\left( c_{\text{B}}^{\alpha} \right)+{{f}^{\beta}}{{g}^{\beta}}\left( c_{\text{B}}^{\beta} \right) \tag{1-1}
$$
ここで、\(c_{X} ^{P}\)は相\(P\)中の成分\(X\)の濃度、\(g ^P\)は単位物質量当たりの相\(P\)のギブスエネルギー、\(f^P\)は相\(P\)の相分率です。
導出に用いる関係式
二相平衡の条件式は、以下の条件下で\(G\)の最小化を考える事で得ることができます。
$$
f^{\mathrm{\alpha}} +f^{\mathrm{\beta}}=1 \tag{1-2}
$$
$$
c^P _{\mathrm{A}} +c^P _{\mathrm{B}} =1 \tag{1-3}
$$
$$
f^{\mathrm{\alpha}} c^{\mathrm{\alpha}}_X +f^{\mathrm{\beta}} c^{\mathrm{\beta}}_X =c_X =\mathrm{Const.} \tag{1-4}
$$
最小化と極小化は異なる概念ですが、実世界では多くの場合、極小値のいずれかが最小値に一致します。そこで、平衡条件の導出では\(G\)の極小化条件を求めます。
二相平衡の条件式
極小化条件を解くと、二相平衡の条件式（Eqs. (1-5, 1-6)）が得られます。
計算手順の詳細は当ページ下部のpdfファイルをご確認ください。
$$
\frac{\text{d}{{g}^{\alpha}}}{\text{d}c_{\text{B}}^{\alpha}}=\frac{\text{d}{{g}^{\beta}}}{\text{d}c_{\text{B}}^{\beta}} \tag{1-5}
$$
$$
{{g}^{\alpha}}-{{g}^{\beta}}=\frac{\text{d}{{g}^{\alpha}}}{\text{d}c_{\text{B}}^{\alpha}}\left( c_{\text{B}}^{\alpha}-c_{\text{B}}^{\beta} \right) \tag{1-6}
$$
詳細な式展開（PDFファイル）
共通接線則の導出（濃度と相分率から定式化）
関連資料
物質量を用いた共通接線則の導出
共通接線則の別パターンの導出を以下のページで紹介しております。
なぜ共通接線則と呼ばれているかについても、以下のページのpdfファイルで紹介しております。
共通接線則と状態図について学べるテキスト
以下のテキストでは共通接線則と二元系合金の状態図の関係を説明しています。興味のある方は確認してみてください。
基礎から状態図について学びたい方向けのテキスト
状態図について基礎から学びたい方には以下のテキストがおすすめです。
二元系合金の状態図を中心として状態図の作成方法・種類・読み取り方について分かりやすく記載されています。三元系状態図についても記載があり、状態図の知識を体系的に身につけることができるテキストです。
