三角関数の微分（導出）

本記事では、三角関数の微分について導出過程を示します。

三角関数の微分

三角関数微分として、以下の式が成立します。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x=\cos x \tag{1}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x=-\sin x \tag{2}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x=\frac{1}{\cos ^2 x} \tag{3}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x}=-\frac{1}{\sin ^2 x} \tag{4}$$

$\sin x$の微分（Eq. (1)の導出）

微分の定義より、$\sin x$の微分は以下の式で与えられます。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x = \lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h}$$

三角関数の加法定理を用いると、分数部分は以下のように変形できます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} &=& \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h – \sin x}{h} \\ &=& \frac{\sin x \left( \cos h-1 \right) + \cos x \sin h}{h} \\ &=& \sin x \frac{ \left( \cos h-1 \right)}{h}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\ \end{eqnarray}$$

三角関数の相互関係式を変形すると以下の式が得られます。

$$\begin{eqnarray} \sin ^2 x + \cos ^2 x &=& 1 \\ \cos ^2 x -1 &=& – \sin ^2 x \\ \left( \cos x -1 \right)\left( \cos x +1 \right) &=& – \sin ^2 x \\ \cos x -1 &=& – \frac{\sin ^2 x}{\cos x +1} \\ \end{eqnarray}$$

この式を用いて、式を変形します。
$$\begin{eqnarray} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} &=& \sin x \frac{ \left( \cos h-1 \right)}{h}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\ &=& – \sin x \frac{1}{h}\frac{\sin ^2 h}{\cos h +1}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\ &=& – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\ \end{eqnarray}$$

三角関数の極限を用いると、Eq. (1)が導かれます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x &=& \lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} \\ &=& \lim _{h \to 0} \left\{ – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \right\} \\ &=& – \sin x \cdot 1\frac{0}{1 +1}+\cos x \cdot 1 \\ &=& \cos x \\ \end{eqnarray}$$

$\cos x$の微分（Eq. (2)の導出）

微分の定義（Eq. (1-1)）より、$\cos x$の微分は以下の式で与えられます。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x = \lim _{h \to 0} \frac{\cos (x+h) – \cos (x)}{h}$$

三角関数の加法定理を用いると、分数部分は以下のように変形できます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\cos (x+h) – \cos (x)}{h} &=& \frac{\cos x \cos h – \sin x \sin h – \cos x}{h} \\ &=& \frac{\cos x \left( \cos h-1 \right) – \sin x \sin h}{h} \\ &=& \cos x \frac{ \left( \cos h-1 \right)}{h} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \\ &=& – \cos x \frac{1}{h}\frac{\sin ^2 h}{\cos h +1} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \\ &=& – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \\ \end{eqnarray}$$

三角関数の極限（Eq. (1-4)）を用いると、Eq. (2)が導かれます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x &=& \lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} \\ &=& \lim _{h \to 0} \left\{ – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \right\} \\ &=& – \sin x \cdot 1 \frac{0}{1+1} – \sin x \cdot 1 \\ &=& – \sin x\\ \end{eqnarray}$$

$\tan x$の微分（Eq. (3)の導出）

三角関数の関係式と関数の分数の微分より、$\tan x$の微分は以下の式で与えられます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\sin x}{\cos x} \\ &=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x \right) \cos x – \sin x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x \right) \right\} \\ \end{eqnarray}$$

三角関数の微分（Eqs. (1, 2)）と三角関数の相互関係式（Eq. (1-3)）を用いると、Eq. (3)が導かれます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x &=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x \right) \cos x – \sin x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x \right) \right\} \\ &=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \cos x \cos x + \sin x \sin x \right\} \\ &=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \cos ^2 x + \sin^2 x \right\} \\ &=& \frac{1}{\cos ^2 x} \\ \end{eqnarray}$$

$1/\tan x$の微分（Eq. (4)の導出）

三角関数の関係式（Eq. (3-1)）と関数の分数の微分（Eq. (3-2)）より、$1/\tan x$の微分は以下の式で与えられます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x} &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\cos x}{\sin x} \\ &=& \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x \right) \sin x – \cos x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x \right) \right\} \\ \end{eqnarray}$$

三角関数の微分（Eqs. (1, 2)）と三角関数の相互関係式（Eq. (1-3)）を用いると、Eq. (3)が導かれます。

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x} &=& \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x \right) \sin x – \cos x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x \right) \right\} \\ &=& \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ – \sin x \sin x – \cos x \cos x \right\} \\ &=& – \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ \sin ^2 x + \cos^2 x \right\} \\ &=& – \frac{1}{\sin ^2 x} \\ \end{eqnarray}$$

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