本記事では、三角関数の微分について導出過程を示します。
対象読者：高校生
必要な知識：高校数学 三角関数、微分、極限
三角関数の微分
三角関数微分として、以下の式が成立します。
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x=\cos x \tag{1}$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x=-\sin x \tag{2}$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x=\frac{1}{\cos ^2 x} \tag{3}$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x}=-\frac{1}{\sin ^2 x} \tag{4}$$
\(\sin x\)の微分（Eq. (1)の導出）
微分の定義より、\(\sin x\)の微分は以下の式で与えられます。
微分の定義
$$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\tag{1-1} $$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x = \lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} $$
三角関数の加法定理を用いると、分数部分は以下のように変形できます。
三角関数の加法定理
$$ \sin (x+y) = \sin x \cos y+\cos x \sin y \tag{1-2} $$
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h}
&=& \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h – \sin x}{h} \\
&=& \frac{\sin x \left( \cos h-1 \right) + \cos x \sin h}{h} \\
&=& \sin x \frac{ \left( \cos h-1 \right)}{h}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\
\end{eqnarray}
$$
三角関数の相互関係式を変形すると以下の式が得られます。
三角関数の相互関係式
$$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \tag{1-3} $$
$$
\begin{eqnarray}
\sin ^2 x + \cos ^2 x &=& 1 \\
\cos ^2 x -1 &=& – \sin ^2 x \\
\left( \cos x -1 \right)\left( \cos x +1 \right) &=& – \sin ^2 x \\
\cos x -1 &=& – \frac{\sin ^2 x}{\cos x +1} \\
\end{eqnarray}
$$
この式を用いて、式を変形します。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h}
&=& \sin x \frac{ \left( \cos h-1 \right)}{h}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\
&=& – \sin x \frac{1}{h}\frac{\sin ^2 h}{\cos h +1}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\
&=& – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \\
\end{eqnarray}
$$
三角関数の極限を用いると、Eq. (1)が導かれます。
三角関数の極限
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1-4} $$
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x
&=& \lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} \\
&=& \lim _{h \to 0} \left\{ – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1}+\cos x \frac{ \sin h}{h} \right\} \\
&=& – \sin x \cdot 1\frac{0}{1 +1}+\cos x \cdot 1 \\
&=& \cos x \\
\end{eqnarray}
$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x=\cos x \tag{1}$$
\(\cos x\)の微分（Eq. (2)の導出）
微分の定義（Eq. (1-1)）より、\(\cos x\)の微分は以下の式で与えられます。
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x = \lim _{h \to 0} \frac{\cos (x+h) – \cos (x)}{h} $$
三角関数の加法定理を用いると、分数部分は以下のように変形できます。
三角関数の加法定理
$$ \cos (x+y) = \cos x \cos y – \sin x \sin y \tag{2-1} $$
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\cos (x+h) – \cos (x)}{h}
&=& \frac{\cos x \cos h – \sin x \sin h – \cos x}{h} \\
&=& \frac{\cos x \left( \cos h-1 \right) – \sin x \sin h}{h} \\
&=& \cos x \frac{ \left( \cos h-1 \right)}{h} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \\
&=& – \cos x \frac{1}{h}\frac{\sin ^2 h}{\cos h +1} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \\
&=& – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \\
\end{eqnarray}
$$
三角関数の極限（Eq. (1-4)）を用いると、Eq. (2)が導かれます。
三角関数の極限
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{2-2} $$
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x
&=& \lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin (x)}{h} \\
&=& \lim _{h \to 0} \left\{ – \sin x \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1} – \sin x \frac{ \sin h}{h} \right\} \\
&=& – \sin x \cdot 1 \frac{0}{1+1} – \sin x \cdot 1 \\
&=& – \sin x\\
\end{eqnarray}
$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x=-\sin x \tag{2}$$
\(\tan x\)の微分（Eq. (3)の導出）
三角関数の関係式と関数の分数の微分より、\(\tan x\)の微分は以下の式で与えられます。
三角関数の関係式
$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \tag{3-1} $$
関数の分数の微分
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g- f\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}{g^2} \tag{3-2} $$
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x
&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\sin x}{\cos x} \\
&=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x \right) \cos x – \sin x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x \right) \right\} \\
\end{eqnarray}
$$
三角関数の微分（Eqs. (1, 2)）と三角関数の相互関係式（Eq. (1-3)）を用いると、Eq. (3)が導かれます。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x
&=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x \right) \cos x – \sin x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos x \right) \right\} \\
&=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \cos x \cos x + \sin x \sin x \right\} \\
&=& \frac{1}{\cos ^2 x} \left\{ \cos ^2 x + \sin^2 x \right\} \\
&=& \frac{1}{\cos ^2 x} \\
\end{eqnarray}
$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x=\frac{1}{\cos ^2 x} \tag{3}$$
\(1/\tan x\)の微分（Eq. (4)の導出）
三角関数の関係式（Eq. (3-1)）と関数の分数の微分（Eq. (3-2)）より、\(1/\tan x\)の微分は以下の式で与えられます。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x}
&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\cos x}{\sin x} \\
&=& \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x \right) \sin x – \cos x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x \right) \right\} \\
\end{eqnarray}
$$
三角関数の微分（Eqs. (1, 2)）と三角関数の相互関係式（Eq. (1-3)）を用いると、Eq. (3)が導かれます。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x}
&=& \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x \right) \sin x – \cos x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x \right) \right\} \\
&=& \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ – \sin x \sin x – \cos x \cos x \right\} \\
&=& – \frac{1}{\sin ^2 x} \left\{ \sin ^2 x + \cos^2 x \right\} \\
&=& – \frac{1}{\sin ^2 x} \\
\end{eqnarray}
$$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\tan x}=-\frac{1}{\sin ^2 x} \tag{4}$$
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