部分積分(導出)

数学

本記事では、部分積分について導出過程を示します。

対象読者:高校生

必要な知識:高校数学 微分、積分

部分積分

部分積分の関係式として、以下の式が成立します。

$$ \int_a^b f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x= \left[ f(x)g(x) \right] _a ^b -\int_a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g \mathrm{d}x \tag{1}$$

Eq. (1)の導出

Eq. (1)の導出にあたり、関数積の微分の積分を考えます。

$$
\begin{eqnarray}
\int _a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} fg \mathrm{d}x
&=& \int _a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g+ f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \\
&=& \int _a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g \mathrm{d}x+ \int _a^b f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \\
\end{eqnarray}
$$

積分の定義より、以下の式が成立します。

積分の定義

$$
\int _a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x = \left[ f(x) \right] _a^b \tag{1-2}
$$

$$ \int _a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} fg \mathrm{d}x = \left[ f(x)g(x) \right] _a^b $$

この式を用いて、式を整理するとEq. (1)が導かれます。

$$
\begin{eqnarray}
\int _a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} fg \mathrm{d}x &=& \int _a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g \mathrm{d}x+ \int _a^b f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \\
\left[ f(x)g(x) \right] _a^b &=& \int _a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g \mathrm{d}x+ \int _a^b f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \\
\int _a^b f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x &=& \left[ f(x)g(x) \right] _a^b – \int _a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g \mathrm{d}x \\
\end{eqnarray}
$$

$$ \int_a^b f \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x= \left[ f(x)g(x) \right] _a ^b -\int_a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} g \mathrm{d}x \tag{1}$$

関連ページ

高校生向け数学記事の一覧

タイトルとURLをコピーしました