本記事では、弾性スティフネスの行列表現について解説します。
弾性スティフネスは、\(C_{ijkl}\)と表現される4階のテンソルで、添え字の\(i, j, k\)は座標軸を表す1~3の値をとるため、3×3×3×3の計81個の成分を有します。
本稿では、この\(C_{ijkl}\)の9×9の行列表現ならびに、対称性を考慮した6×6の行列表現（Vogit（フォークト）表記）について説明します。
専門：材料力学、弾性論
数学：テンソル
9×9の行列表現
\(C_{ijkl}\)を行列表現する方法は簡単で、(\(i\), \(j\))の組合せを行、(\(k\), \(l\))の組合せを列とする事で実現できます。
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 1), (1, 2), (3, 2), (1, 3), (2, 1)の順で並べると、以下のように表現することができます。
\[
\mathbf{C}_9=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} & C_{1132} & C_{1113} & C_{1121} \\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} & C_{2232} & C_{2213} & C_{2221} \\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} & C_{3332} & C_{3313} & C_{3321} \\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} & C_{2332} & C_{2313} & C_{2321} \\
C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3112} & C_{3132} & C_{3113} & C_{3121} \\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1212} & C_{1232} & C_{1213} & C_{1221} \\
C_{3211} & C_{3222} & C_{3233} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3212} & C_{3232} & C_{3213} & C_{3221} \\
C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1312} & C_{1332} & C_{1313} & C_{1321} \\
C_{2111} & C_{2122} & C_{2133} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2112} & C_{2132} & C_{2113} & C_{2121} \\
\end{array}
\right]
\tag{1}
\]
ここで、\(\mathbf{C}_9\)は\(C_{ijkl}\)の9×9行列表現を表しています。
この式は、部分行列を用いると、下式でも表現できます。
\[
\mathbf{C}_9=
\left[
\begin{array}{ccc}
\mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}^{\prime}_2 \\
\mathbf{C}_4 & \mathbf{C}_3 & \mathbf{C}^{\prime}_3 \\
\mathbf{C}^{\prime}_4 & \mathbf{C}^{\prime \prime}_3 & \mathbf{C}^{\prime \prime \prime}_3 \\
\end{array}
\right]
\tag{2}
\]
各部分行列の定義はここを確認
\[
\mathbf{C}_1=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} \\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} \\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-1}
\]
\[
\mathbf{C}_2=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\
C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\
C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-2}
\]
\[
\mathbf{C}_3=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\
C_{3123} & C_{3131} & C_{3112}\\
C_{1223} & C_{1231} & C_{1212}\\
\end{array}
\right]
\tag{A-3}
\]
\[
\mathbf{C}_4=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} \\
C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} \\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-4}
\]
\[
\mathbf{C}^{\prime}_2=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{1132} & C_{1113} & C_{1121} \\
C_{2232} & C_{2213} & C_{2221} \\
C_{3332} & C_{3313} & C_{3321} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-5}
\]
\[
\mathbf{C}^{\prime}_3=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{2332} & C_{2313} & C_{2321} \\
C_{3132} & C_{3113} & C_{3121} \\
C_{1232} & C_{1213} & C_{1221} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-6}
\]
\[
\mathbf{C}^{\prime \prime}_3=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{3223} & C_{3231} & C_{3212} \\
C_{1323} & C_{1331} & C_{1312} \\
C_{2123} & C_{2131} & C_{2112} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-7}
\]
\[
\mathbf{C}^{\prime \prime \prime}_3=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{3232} & C_{3213} & C_{3221} \\
C_{1332} & C_{1313} & C_{1321} \\
C_{2132} & C_{2113} & C_{2121} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-8}
\]
\[
\mathbf{C}^{\prime}_4=
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
C_{3211} & C_{3222} & C_{3233} \\
C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} \\
C_{2111} & C_{2122} & C_{2133} \\
\end{array}
\right]
\tag{A-9}
\]
ここで、\(C_{ijkl}\)が結晶構造によらずに満たす、対称性（下式）を考えます。
\[ C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk}=C_{klij} \tag{3} \]
この対称性により、下式のように、Eq. (2)の部分行列の大部分は同一となります。
\[ \mathbf{C}_2=\mathbf{C}^{\prime}_2={}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}_4={}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}^{\prime}_4 \tag{4} \]
\[ \mathbf{C}_3=\mathbf{C}^{\prime}_3=\mathbf{C}^{\prime \prime}_3=\mathbf{C}^{\prime \prime \prime}_3 \tag{5} \]
\[ \mathbf{C}_1={}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}_1 \tag{6} \]
\[ \mathbf{C}_3={}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}_3 \tag{7} \]
これを用いてEq. (2)を書き直すと、下式が得られます。
\[
\mathbf{C}_9=
\left[
\begin{array}{ccc}
\mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_2 \\
{}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_3 & \mathbf{C}_3 \\
{}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_3 & \mathbf{C}_3 \\
\end{array}
\right]
\tag{8}
\]
この行列表現を用いると、Hooke（フック）の法則はEq. (9)で表現することができます。
\[ \sigma_{ij} =\sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \]
\[
\left[
\begin{array}{c}
\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\
\sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \\
\sigma_{32} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{21} \\
\end{array}
\right]
=
\mathbf{C}_9
\left[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\
\varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} \\ \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{32} \\ \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} \\
\end{array}
\right]
\tag{9}
\]
ここで、\(\sigma_{ij}\)は応力、\(\varepsilon_{ij}\)はひずみです。
Vogit表記（6×6の行列表現）
Eq. (8)に示したように、\(\mathbf{C}_9\)の7～9行ならびに7～9列は、4～6行ならびに4～6列と重複するため、Vogit表記ではこれを省略して、\(C_{ijkl}\)を下式で表現します。
\[
\mathbf{C}=
\left[
\begin{array}{cccccc}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} & \\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\
C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3112} \\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1212} \\
\end{array}
\right]
\tag{10}
\]
ここで、\(\mathbf{C}\)は\(C_{ijkl}\)の6×6行列表現を表しています。
また、部分行列を用いると、\(\mathbf{C}\)は下式でも表現することができます。
\[
\mathbf{C}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 \\
{}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_3 \\
\end{array}
\right]
\tag{11}
\]
応力\(\sigma_{ij}\)とひずみ\(\varepsilon_{ij}\)も下式の対称性を有するので、\(\mathbf{C}\)を用いると、Hookeの法則(Eq. (9))を下式で表現できます。
\[ \sigma_{ij} =\sigma_{ji} \]
\[ \varepsilon_{ij} =\varepsilon_{ji} \]
\[
\left[
\begin{array}{c}
\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\
\sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \\
\end{array}
\right]
=
\mathbf{C}
\left[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\
2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \\
\end{array}
\right]
\tag{12}
\]
Eqs. (1-3, 2-2, 3-3)からEq. (1)が成立します。