自然界にはフィボナッチ数列がよく登場することが知られています。本ページではフィボナッチ数列の一般項などを紹介します。要点のみを掲載しますので、詳細な式展開については以下のpdfファイルを確認してください。
フィボナッチ数列
フィボナッチ数列 \(a_n\) は以下のような数列で、Eq. (1)の漸化式を満たします。
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | \(\cdots\) | 20 | \(\cdots\) | 30 | \(\cdots\) |
| \(a_n\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | \(\cdots\) | 6765 | \(\cdots\) | 832040 | \(\cdots\) |
漸化式
$$
a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \tag{1}
$$
初項
$$
a_1=a_2=1 \tag{2}
$$
一般項
Eq. (1)の三項間漸化式は、以下の記事のように特性方程式を用いることで、Eq. (3)の一般項を求めることができます。詳細な計算過程については本ページ上部のpdfファイルを確認してください。
$$ a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \tag{3} $$
隣接二項の比
フィボナッチ数列の隣接二項の比は以下のようになり、その\(n \to \infty\)の極限は黄金比に収束します。
$$ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right) ^n}{1-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)^n} \tag{4} $$
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \tag{5} $$