弾性定数の対称性（基本的な対称性）

2022年3月12日

本記事では、任意の結晶系において成立する弾性定数の対称性について紹介します。

本ページでは式の表現にEinsteinの総和規約（Einstein summation convention）を用います。

Webページ上では要点のみを示しますので、細かな式展開については本ページ下部のpdfファイルをご確認ください。

弾性定数

弾性定数（弾性スティフネス: Elastic stiffness）$C_{ijkl}$は4階のテンソルであり、3次元の直交座標の軸に対応する1~3が添え字として入るため、81個の成分を有します。

対称性に関する関係式

$C_{ijkl}$には、以下の関係式が成立するため、この式を考慮すると独立な成分は21個となります。

$$ C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk}=C_{klij} \tag{1} $$

結晶系によっては結晶の対称性によって、独立成分数はさらに減少しますが、本ページでは任意の結晶系で成立するEq. (1)の導出過程を示します。

フォークト表記

$C_{ijkl}$は4階のテンソルですが、Voigt表記（フォークト表記: Voigt notation）を用いて、以下のように2階テンソルで表現されることがよくあります。

$$
\mathbf{C}=
\left[
\begin{array}{cccccc}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\
C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3112} \\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1212} \\
\end{array}
\right]
\tag{2}
$$

この表現ではEq. (1)の1~3項を用いる事で36個の成分で $C_{ijkl}$を表現しています。

Eq. (2)の表現で考慮されいていない、Eq. (1)の4項については以下の式で表現できます。

$$ \mathbf{C}=\mathbf{^{\mathrm{t}} \! C} \tag{3} $$

応力の対称性

応力（Stress）$\sigma_{ij}$の対称性として以下の式が成立します。

$$ \sigma_{ij}=\sigma_{ji} \tag{1-1} $$

$\varepsilon_{ij}$をひずみ（Strain）として、Hookeの法則（フックの法則: Hooke’s law）を用いるとEq. (1-1)から以下の式が成立します。

Hookeの法則

$$ \sigma_{ij}=C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \tag{1-2} $$

$$ C_{ijkl} \varepsilon_{kl}=C_{jikl} \varepsilon_{kl} $$

この式は任意の$\varepsilon_{ij}$について成立するので、下式が導かれます。

$$ C_{ijkl}=C_{jikl} \tag{1-3} $$

ひずみの対称性

$\varepsilon_{ij}$の対称性として以下の式が成立します。

$$ \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji} \tag{2-1} $$

Hookeの法則（Eq. (1-2)）を用いるとEq. (2-1)から以下の式が成立します。

$$ C_{ijkl} \varepsilon_{kl}=C_{ijlk} \varepsilon_{kl} $$

この式は任意の$\varepsilon_{ij}$について成立するので、下式が導かれます。

$$ C_{ijkl}=C_{ijlk} \tag{2-2} $$

弾性ひずみエネルギーの微分

単位体積当たりの弾性ひずみエネルギー（Elastic strain energy）$E_{\mathrm{str}}$は以下の式で表現されます。

$$ E_{\mathrm{str}}=\frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}C_{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl} \tag{3-1} $$

$E_{\mathrm{str}}$は熱力学的にはHelmholtzエネルギー（ヘルムホルツエネルギー: Helmholtz energy）であるので、均一変形を考えると共役変数とHelmholtzエネルギーの微分に関する関係式より以下の式が成立します。

Helmholtzエネルギーの微分

$$ \frac{\partial E_{\mathrm{str}}}{\partial \varepsilon_{ij}}=\sigma_{ij} \tag{3-2} $$

Eq. (3-1)を偏微分します。

$$ \frac{\partial E_{\mathrm{str}}}{\partial \varepsilon_{ij}}=\frac{1}{2}\left( C_{ijkl}+C_{klij} \right) \varepsilon_{kl} $$
Eq. (3-2)と上式を比較しHookeの法則を用いて変形します。

$$ C_{ijkl} \varepsilon_{kl}=C_{klij} \varepsilon_{kl} $$

この式は任意の$\varepsilon_{ij}$について成立するので、下式が導かれます。

$$ C_{ijkl}=C_{klij} \tag{3-3} $$