弾性定数（六方晶）

2022年4月5日2022年4月11日

本記事では、六方晶系の弾性定数について、結晶構造の対称性を考慮したときの弾性定数テンソルを示します。

本ページでは特に断らない限り、Einsteinの総和規約（Einstein summation convention）を用います。ただし、1つの項に同一の添え字が3つ以上存在する場合は、その添え字についてはEinsteinの総和則を適用しません。

Webページ上では要点のみを示しますので、細かな式展開については本ページ下部のpdfファイルをご確認ください。

弾性定数

弾性定数（弾性スティフネス: Elastic stiffness）$C_{ijkl}$は4階のテンソルであり、以下の記事で紹介しているように任意の座標系について以下の式が成立するため、独立な成分は21個となります。

$$ C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk}=C_{klij} \tag{1} $$

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結晶系の対称性を考慮すると、独立成分数はさらに減少します。本ページでは六方晶の$C_{ijkl}$を導きます。

ここでは、Voigt表記（フォークト表記: Voigt notation）を用いて、以下のように$C_{ijkl}$を2階テンソルとして記述します。

$$
\mathbf{C}=
\left[
\begin{array}{cccccc}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\
C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3112} \\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1212} \\
\end{array}
\right]
\tag{2}
$$

なお、Eq. (1)より、以下の式が成立します。

$$ \mathbf{C}=\mathbf{^{\mathrm{t}} \! C} \tag{3} $$

また、弾性定数の座標変換は以下の式で表現されます。

弾性定数の座標変換

$$ C’_{ijkl}=C_{mnpq} l_{im} l_{jn} l_{kp} l_{lq} \tag{4} $$
$$ l_{ij}=\mathbf{e}’_i \cdot \mathbf{e}_j \tag{5} $$

ここで、$C’_{ijkl}$は変換後の座標における弾性定数、$\mathbf{e}’_i$は変換後の座標における$x’_i$軸の単位方向ベクトル、$\mathbf{e}_i$は変換前の座標における$x_i$軸の単位方向ベクトルです。

六方晶

六方晶（Hexagonal crystal）では、直方晶（Orthorhombic）と同様に、任意の$x_i$軸の反転に対して不変です。

よって、下図のような、$x_i$軸の反転を考えると、$C_{ijkl}$の独立成分数は9つになります。

$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{C}
&=&
\left[
\begin{array}{cccccc}
C_{11} & C_{12} & C_{31} & & & \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & & \mathrm{O} & \\
C_{31} & C_{23} & C_{33} & & & \\
& & & C_{44} & 0 & 0 \\
& \mathrm{O} & & 0 & C_{55} & 0 \\
& & & 0 & 0 & C_{66} \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
\tag{1-1}
$$

詳しくは、以下のページの直方晶系の弾性定数テンソルに関する項目を確認してください。

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六方晶は、60°の回転に対して不変であるため、下図のような回転を考えます。

この座標変換における$l_{ij}$は以下の式で与えられます。

$$
l_{11}=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \\
l_{12}=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
l_{21}=-\sin \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\
l_{22}=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \\
l_{33}=1 \\
\mathrm{Others}=0\\
\tag{1-2}
$$

Eq. (1-2)をEq. (4)に代入して、$ C’_{ijkl}=C_{ijkl}$を解くと、以下の関係式が得られます。

$$ C_{11}=C_{22} \tag{1-3} $$

$$ C_{66}=\frac{C_{11}-C_{12}}{2} \tag{1-4} $$

$$ C_{31}=C_{23} \tag{1-5} $$

$$ C_{55}=C_{44} \tag{1-6} $$
よって、六方晶の$\mathbf{C}$は以下の式で与えられます。

$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{C}
&=&
\left[
\begin{array}{cccccc}
\lambda + 2 \mu & \lambda & \lambda & & & \\
C_{11} & C_{12} & C_{23} & & & \\
C_{12} & C_{11} & C_{23} & & \mathrm{O} & \\
C_{23} & C_{23} & C_{33} & & & \\
& & & C_{44} & 0 & 0 \\
& \mathrm{O} & & 0 & C_{44} & 0 \\
& & & 0 & 0 & \frac{C_{11}-C_{12}}{2} \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
\tag{1-7}
$$